中学数学基础复习手册

绝对值：$|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$

绝对值性质：$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$，$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$（$b \neq 0$）

距离公式：数轴上两点 $A(a)$、$B(b)$ 的距离 $AB = |a - b|$

平方差：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

完全平方：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

立方和/差：$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$；$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

完全立方：$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

提公因式：$ma + mb = m(a + b)$

公式法：套用上述乘法公式

十字相乘法：$x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$

分组分解：$ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$

求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$。$\Delta > 0$ 两不等实根；$\Delta = 0$ 两相等实根；$\Delta < 0$ 无实根

韦达定理：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

因式分解法：若能分解为 $a(x-x_1)(x-x_2)=0$，则 $x=x_1$ 或 $x=x_2$

若 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根为 $x_1 < x_2$：

$ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x < x_1$ 或 $x > x_2$（大于取两边）

$ax^2 + bx + c < 0$ 的解集为 $x_1 < x < x_2$（小于取中间）

均值不等式：若 $a > 0, b > 0$，则 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取等）

绝对值不等式：$|x| < a$（$a>0$）$\Leftrightarrow$ $-a < x < a$；$|x| > a$（$a>0$）$\Leftrightarrow$ $x < -a$ 或 $x > a$

一般式：$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）

顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，顶点为 $(h, k)$

交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，$x_1, x_2$ 为与 $x$ 轴交点

对称轴：$x = -\frac{b}{2a}$（即顶点的横坐标）

顶点坐标：$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$

最值：$a > 0$ 时开口向上，有最小值 $\frac{4ac-b^2}{4a}$；$a < 0$ 时开口向下，有最大值

与 $x$ 轴交点：由判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定

两腰相等，两底角相等；顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一。

三边相等，三个角均为 $60°$。高 $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。

勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 为斜边）

射影定理：直角边是斜边与其在斜边上射影的比例中项

特殊直角三角形：$30°-60°-90°$ 三边比 $1 : \sqrt{3} : 2$；$45°-45°-90°$ 三边比 $1 : 1 : \sqrt{2}$

SSS：三边对应相等

SAS：两边及其夹角对应相等

ASA：两角及其夹边对应相等

AAS：两角及其中一角的对边对应相等

HL（仅直角三角形）：斜边和一条直角边对应相等

AA：两角对应相等（最常见）

SAS（相似）：两边成比例且夹角相等

SSS（相似）：三边对应成比例

相似比为 $k$，则：周长比 $= k$，面积比 $= k^2$

平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。

平行四边形：$S = 底 \times 高$

矩形：$S = 长 \times 宽$

菱形：$S = \frac{1}{2} \times 对角线_1 \times 对角线_2$

梯形：$S = \frac{(上底 + 下底) \times 高}{2}$

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角（$90°$）。

圆内接四边形：对角互补（$\angle A + \angle C = 180°$）。

点与圆：设点到圆心距离为 $d$，半径为 $R$。$d < R$ 在圆内；$d = R$ 在圆上；$d > R$ 在圆外。

直线与圆：设圆心到直线距离为 $d$。$d < R$ 相交；$d = R$ 相切；$d > R$ 相离。

切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

弧长：$l = \frac{n\pi R}{180}$（$n$ 为圆心角度数）

扇形面积：$S = \frac{n\pi R^2}{360} = \frac{1}{2}lR$

圆锥侧面积：$S_{侧} = \pi r l$（$r$ 为底面半径，$l$ 为母线长）

交集：$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$（公共元素）

并集：$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$（所有元素）

补集：$\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}$（$U$ 为全集）

交换律：$A \cap B = B \cap A$；$A \cup B = B \cup A$

结合律：$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

分配律：$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

德摩根律：$\complement(A \cup B) = \complement A \cap \complement B$；$\complement(A \cap B) = \complement A \cup \complement B$

定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0, +\infty)$，过定点 $(0, 1)$

$a > 1$ 时递增；$0 < a < 1$ 时递减

运算法则：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$；$(a^m)^n = a^{mn}$；$(ab)^n = a^n b^n$

定义域 $(0, +\infty)$，值域 $\mathbb{R}$，过定点 $(1, 0)$

$a > 1$ 时递增；$0 < a < 1$ 时递减

运算法则：$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$；$\log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

$\log_a M^n = n\log_a M$；换底公式：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

特殊值：$\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$，$a^{\log_a N} = N$

常见：$y = x$、$y = x^2$、$y = x^3$、$y = \sqrt{x} = x^{1/2}$、$y = \frac{1}{x} = x^{-1}$

幂函数在第一象限的图像特征由指数 $\alpha$ 的正负和大小决定。

平方关系：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

商数关系：$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

倒数关系：$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$

$\sin(2k\pi + \alpha) = \sin\alpha$；$\cos(2k\pi + \alpha) = \cos\alpha$

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$；$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$（正弦奇，余弦偶）

$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$；$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$；$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$；$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$

$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha$；$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

降幂公式：$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$；$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x + \varphi)$，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$（$R$ 为外接圆半径）

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

变形：$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$

通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$（$d$ 为公差）

前 $n$ 项和：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

性质：若 $m + n = p + q$，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$

通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$（$q$ 为公比，$q \neq 0$）

前 $n$ 项和：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q \neq 1$）；$S_n = na_1$（$q = 1$）

性质：若 $m + n = p + q$，则 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$

异面直线所成角：过空间任一点作两直线的平行线，所得夹角（范围 $(0, 90°]$）

线面角：直线与其在平面内射影的夹角（范围 $[0, 90°]$）

二面角：从棱上一点分别在两个面内作垂直于棱的射线，两射线夹角（范围 $[0, 180°]$）

加减：$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)$

数乘：$k\vec{a} = (kx_1, ky_1, kz_1)$

数量积（点积）：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

向量模：$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$

夹角：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

垂直：$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

平行：$\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}$（$k \in \mathbb{R}$）

异面直线角：$\cos\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$（取绝对值）

线面角：$\sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}$（$\vec{n}$ 为平面法向量）

面面角：$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$（$\vec{n_1}, \vec{n_2}$ 为两平面法向量）

点斜式：$y - y_0 = k(x - x_0)$（已知点 $(x_0, y_0)$ 和斜率 $k$）

斜截式：$y = kx + b$（$k$ 为斜率，$b$ 为 $y$ 轴截距）

两点式：$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$（已知两点）

截距式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$（$a, b$ 分别为横、纵截距）

一般式：$Ax + By + C = 0$（$A^2 + B^2 \neq 0$）

两点距离：$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

点到直线距离：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

两平行线距离：$Ax + By + C_1 = 0$ 与 $Ax + By + C_2 = 0$ 的距离 $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$（圆心 $(a, b)$，半径 $r$）

一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$（$D^2 + E^2 - 4F > 0$）

圆心 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$，半径 $r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$

设圆心到直线距离为 $d$，圆半径为 $R$：

$d < R$ $\Leftrightarrow$ 相交（有两个交点）

$d = R$ $\Leftrightarrow$ 相切（有一个交点）

$d > R$ $\Leftrightarrow$ 相离（无交点）

焦点在 $x$ 轴：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）

焦点在 $y$ 轴：$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）

焦点：$F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 - b^2$

长轴 $2a$，短轴 $2b$，焦距 $2c$

离心率：$e = \frac{c}{a}$（$0 < e < 1$）

定义：到两定点（焦点）距离之和为常数 $2a$ 的点的轨迹

焦点在 $x$ 轴：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）

焦点在 $y$ 轴：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）

焦点：$F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$

实轴 $2a$，虚轴 $2b$，焦距 $2c$

离心率：$e = \frac{c}{a}$（$e > 1$）

渐近线：$y = \pm \frac{b}{a}x$（焦点在 $x$ 轴时）

定义：到两定点（焦点）距离之差的绝对值为常数 $2a$ 的点的轨迹

$y^2 = 2px$（$p > 0$）：开口向右，焦点 $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$，准线 $x = -\frac{p}{2}$

$y^2 = -2px$（$p > 0$）：开口向左

$x^2 = 2py$（$p > 0$）：开口向上，焦点 $\left(0, \frac{p}{2}\right)$

$x^2 = -2py$（$p > 0$）：开口向下

定义：到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹

$(C)' = 0$（$C$ 为常数）

$(x^n)' = nx^{n-1}$（$n \in \mathbb{Q}$）

$(\sin x)' = \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$

$(e^x)' = e^x$

$(a^x)' = a^x \ln a$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$

$(u \pm v)' = u' \pm v'$

$(uv)' = u'v + uv'$（乘法法则）

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \neq 0$，除法法则）

$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$（链式法则）

切线方程：过点 $(x_0, f(x_0))$ 的切线为 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

单调性：$f'(x) > 0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ 递增；$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ 递减

极值：$f'(x_0) = 0$ 且 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号 $\Rightarrow$ $x_0$ 为极值点

最值：闭区间上连续函数的最值在极值点或端点处取得

完成一件事有 $n$ 类方法，第 $i$ 类有 $m_i$ 种方法，则完成这件事共有 $N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n$ 种方法。
关键词："或"——选一类即可

完成一件事需要 $n$ 个步骤，第 $i$ 步有 $m_i$ 种方法，则完成这件事共有 $N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n$ 种方法。
关键词："且"——每步都必须完成

从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个排成一列：$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

全排列：$A_n^n = n!$

从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个成一组：$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

性质：$C_n^m = C_n^{n-m}$；$C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m$

$$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n$$

通项：$T_{r+1} = C_n^r a^{n-r}b^r$（第 $r+1$ 项）

二项式系数和：$C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$